初一数学必考的23个知识点,考试必掌握的重难点
当我第一遍读一本好书的时候,我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候,仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣,并自觉把读书和学习结合起来,做到博览、精思、熟读,更好地指导自己的学习,让自己不断成长。让我们一起到学习啦一起学习吧!
初一数学必考的23个知识点
1.数轴
(1)数轴的概念:
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
数轴的三要素:
原点,单位长度,正方向。
(2)数轴上的点:
所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数。
(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数。)
(3)用数轴比较大小:
一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大。
2.相反数
(1)相反数的概念:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
(2)相反数的意义:
掌握相反数是成对出现的,不能单独存在,从数轴上看,除0外,互为相反数的两个数,它们分别在原点两旁且到原点距离相等。
(3)多重符号的化简:
与“+”个数无关,有奇数个“﹣”号结果为负,有偶数个“﹣”号,结果为正。
(4)规律方法总结:
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,如a的相反数是﹣a,m+n的相反数是﹣(m+n),这时m+n是一个整体,在整体前面添负号时,要用小括号。
3.绝对值
1.概念:
数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。
①互为相反数的两个数绝对值相等;
②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数.
③有理数的绝对值都是非负数.
2.如果用字母a表示有理数,则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定:
①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数﹣a;
③当a是零时,a的绝对值是零.
即|a|={a(a>0)0(a=0)﹣a(a<0)
4.有理数大小比较
1.有理数的大小比较:
比较有理数的大小可以利用数轴,他们从左到有的顺序,即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大);
也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,利用绝对值比较两个负数的大小。
2.有理数大小比较的法则:
①正数都大于0;
②负数都小于0;
③正数大于一切负数;
④两个负数,绝对值大的其值反而小。
规律方法·有理数大小比较的三种方法:
(1)法则比较:
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
(2)数轴比较:
在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
(3)作差比较:
若a﹣b>0,则a>b;
若a﹣b<0,则a
若a﹣b=0,则a=b.
5.有理数的减法
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。 即:a﹣b=a+(﹣b)
方法指引:
①在进行减法运算时,首先弄清减数的符号;
②将有理数转化为加法时,要同时改变两个符号:一是运算符号(减号变加号); 二是减数的性质符号(减数变相反数);
注意:
在有理数减法运算时,被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律。
减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算。
6.有理数的乘法
(1)有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
(2)任何数同零相乘,都得0。
(3)多个有理数相乘的法则:
①几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
②几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。
(4)方法指引
①运用乘法法则,先确定符号,再把绝对值相乘.
②多个因数相乘,看0因数和积的符号当先,这样做使运算既准确又简单.
7.有理数的混合运算
1.有理数混合运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算。
2.进行有理数的混合运算时:
注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化。
有理数混合运算的四种运算技巧:
(1)转化法:
一是将除法转化为乘法,二是将乘方转化为乘法,三是在乘除混合运算中,通常将小数转化为分数进行约分计算.
(2)凑整法:
在加减混合运算中,通常将和为零的两个数,分母相同的两个数,和为整数的两个数,乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.
(3)分拆法:
先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式,然后进行计算.
(4)巧用运算律:
在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.
8.科学记数法—表示较大的数
1.科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法。
(科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数)
2.规律方法总结:
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n。
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.
9.代数式求值
(1)代数式的值:
用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
(2)代数式的求值:
求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值。
题型简单总结以下三种:
①已知条件不化简,所给代数式化简;
②已知条件化简,所给代数式不化简;
③已知条件和所给代数式都要化简.
10.规律型:图形的变化类
首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题。
11.等式的性质
1.等式的性质
性质1: 等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式;
性质2 : 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式。
2.利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形,使方程的形式向x=a的形式转化.
应用时要注意把握两关:
①怎样变形;
②依据哪一条,变形时只有做到步步有据,才能保证是正确的.
12.一元一次方程的解
定义:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。
把方程的解代入原方程,等式左右两边相等。
13.解一元一次方程
1.解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤,针对方程的特点,灵活应用,各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化。
2.解一元一次方程时先观察方程的形式和特点:
若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号,且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母,就先去括号。
3.在解类似于“ax+bx=c”的方程时:
将方程左边,按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c。
使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想。
将ax=b系数化为1时,要准确计算,一弄清求x时,方程两边除以的是a还是b,尤其a为分数时;二要准确判断符号,a、b同号x为正,a、b异号x为负。
14.一元一次方程的应用
1.一元一次方程解应用题的类型
(1)探索规律型问题;
(2)数字问题;
(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=利润进价×100%);
(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);
(5)行程问题(路程=速度×时间);
(6)等值变换问题;
(7)和,差,倍,分问题;
(8)分配问题;
(9)比赛积分问题;
(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).
2.利用方程解决实际问题的基本思路
首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答。
列一元一次方程解应用题的五个步骤
(1)审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
(2)设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
(3)列:根据等量关系列出方程.
(4)解:解方程,求得未知数的值.
(5)答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.
15.正方体相对两个面上的文字
(1)对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决,或是在对展开图理解的基础上直接想象.
(2)从实物出发,结合具体的问题,辨析几何体的展开图,通过结合立体图形与平面图形的转化,建立空间观念,是解决此类问题的关键.
(3)正方体的展开图有11种情况,分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面.
16.直线、射线、线段
(1)直线、射线、线段的表示方法
①直线:用一个小写字母表示,如:直线l,或用两个大写字母(直线上的)表示,如直线AB.
②射线:是直线的一部分,用一个小写字母表示,如:射线l;用两个大写字母表示,端点在前,如:射线OA.注意:用两个字母表示时,端点的字母放在前边.
③线段:线段是直线的一部分,用一个小写字母表示,如线段a;用两个表示端点的字母表示,如:线段AB(或线段BA)。
(2)点与直线的位置关系:
①点经过直线,说明点在直线上;
②点不经过直线,说明点在直线外。
17.两点间的距离
(1)两点间的距离:
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离。
(2)平面上任意两点间都有一定距离:
它指的是连接这两点的线段的长度,学习此概念时,注意强调最后的两个字“长度”,也就是说,它是一个量,有大小,区别于线段,线段是图形.线段的长度才是两点的距离.可以说画线段,但不能说画距离。
18.角的概念
(1)角的定义:
有公共端点是两条射线组成的图形叫做角,其中这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
(2)角的表示方法:
角可以用一个大写字母表示,也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中间,唯有在顶点处只有一个角的情况,才可用顶点处的一个字母来记这个角,否则分不清这个字母究竟表示哪个角.
角还可以用一个希腊字母(如∠α,∠β,∠γ、…)表示,或用阿拉伯数字(∠1,∠2…)表示。
(3)平角、周角:
角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形,当始边与终边成一条直线时形成平角,当始 边与终边旋转重合时,形成周角。
(4)角的度量:
度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分,即1°=60′,1分=60秒,即1′=60″。
19.角平分线的定义
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和,记作:∠AOB=∠AOC+∠BOC.∠AOC是∠AOB和∠BOC的差,记作:∠AOC=∠AOB﹣∠BOC。
②若射线OC是∠AOB的三等分线,则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB。
20.度分秒的运算
(1)度、分、秒的加减运算
在进行度分秒的加减时,要将度与度,分与分,秒与秒相加减,分秒相加,逢60要进位,相减时,要借1化60。
(2)度、分、秒的乘除运算
①乘法:度、分、秒分别相乘,结果逢60要进位。
②除法:度、分、秒分别去除,把每一次的余数化作下一级单位进一步去除。
21.由三视图判断几何体
(1)由三视图想象几何体的形状:
首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状。
(2)由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的,可以从以下途径进行分析:
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,以及几何体的长、宽、高;
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线;
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助;
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程,反复练习,不断总结方法。
22.正数和负数
知识点1 正数和负数的概念
(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。
(2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。负数比0小。
(3) 零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。
注意:
(1) 为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5也可以写作+3、+1.5。
(2) 对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。
例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。
正数、负数表示
正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?
我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。
用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
23.有理数
知识点1 有理数的有关概念
有理数:整数和分数统称为有理数。
注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
(3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。
整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
分数包括正分数和负分数,例如:1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。
知识点2 有理数的分类
(1) 按整数、分数的关系分类
(2) 按正数、负数与0的关系分类
注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。
知识点3 数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉,形少数是难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事非。
切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!
数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包含三层含义:
(1) 数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;
(2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;
(3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。
2.数轴的画法:
(1) 画一条直线(一般画成水平的直线)。
(2) 在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。
(3) 确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。
(4) 选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……
注:
(1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;
(2) 确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;
3.数轴上的点与有理数的关系:
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
4.利用数轴比较有理数的大小:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
知识点4 相反数
1.相反数的定义
(1) 相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。
(2) 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。
2.相反数的性质:
任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
0是唯一一个相反数等于本身的数。反之,如果a=-a,那么a一定是0.
3.相反数的特征:
若a与b互为相反数,则a+b=0(或a=-b)
若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。
4.求一个数的相反数的方法:(见书)
5.多重符号的化简
(1) 在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2) 在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。
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